L'ensemble des nombres rationnels
On désigne par $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels $$ \mathbb{N}=\{0,1,2,3, \ldots\} . $$ Puisque tout entier naturel $n$ admet un successeur $n+1$, il est facile de voir que $\mathbb{N}$ est un ensemble infini. On note par $\mathbb{N}^*$ l'ensemble des entiers naturels non nuls. Étant donné deux entiers naturels $x$ et $y$, on peut facilement voir que $x+y$ et $x \times y$ sont aussi des entiers naturels, i.e. $x+y \in \mathbb{N}$ et $x \times y \in \mathbb{N}$. Par contre le résultat d'une soustraction ou d'une division n'est pas toujours un entier naturel. C'est pour cela qu'on a fait introduire deux nouvels ensembles: $$ \mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}, $$ l'ensemble des entiers relatifs, on notera $\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z} \backslash\{0\}$, et $$ \mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z} \quad \text { et } \quad b \in \mathbb{Z}^*\right\}, $$ l'ensemble des nombres rationnels. Une première conséquence de ces définitions est les inclusions suivantes $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}. $$ Cependant, il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, on les appelle les $\textit{irrationnels}$ et on les retrouve de manière naturelle dans les figures géométriques : par exemple en calculant la diagonale d’un carré de côté 1 en trouve $\sqrt{2}$; le périmètre d'un cercle de rayon 1 est $2\pi$ qui est également un nombre irrationnel...
Le nombre $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.
On va faire un raisonnement par l'absurde :
Supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel, alors il existe deux entiers positifs $a, b$ tels que $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$. Si $a$ et $b$ sont pairs, on peut simplifier la fraction $\frac{a}{b}$ par 2 . En simplifiant par 2 autant que possible, on arrive au cas où au moins un des deux entiers $a$ ou $b$ est impair.
En élevant au carré l'égalité $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, on arrive à
$$
2 b^2=a^2 .
$$
Donc $a^2$ est pair. Si $a$ est impair, on peut écrire $a=2 a^{\prime}+1$, alors $a^2=4 a^{\prime 2}+4 a^{\prime}+1$ qui est impair. On en déduit donc que $a$ est pair, donc on peut écrire $a=2 a^{\prime}$, ce qui donne $2 b^2=4 a^{\prime 2}$ et en simplifiant par 2, on obtient
$$
b^2=2 a^{\prime 2} .
$$
C'est la même équation que ci-dessus avec $a^{\prime}$ à la place de $b$ et $b$ à la place de $a$. Le même raisonnement montre alors que $b$ est aussi pair. On a donc une contradiction et $\sqrt{2}$ ne peut pas être rationnel.
On note par $\mathbb{R}$ l'ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels et on appelle les éléments de $\mathbb{R}$ $\textit{ nombres réels}$.
Propriétés de $\mathbb{R}$
Opérations usuelles
Les propriétés des opérations usuelles restent toujours vraies pour les nombres réels. Pour tout $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$ on a $$ \begin{array}{l} a+b=b+a \\ a \times b=b \times a \\ 0+a=a \\ 1 \times a=a \text { si } a \neq 0 \\ a+b=0 \Longleftrightarrow a=-b \\ a b=1 \Longleftrightarrow a=\frac{1}{b} \\ (a+b)+c=a+(b+c) \\ (a \times b) \times c=a \times(b \times c) \\ a \times(b+c)=a \times b+a \times c \\ a \times b=0 \Longleftrightarrow(a=0 \text { ou } b=0) & \end{array} $$ Autrement dit, $(\mathbb{R}, +, \times)$ est un corps.$\mathbb{R}$ est ordonné
Tout d'abord, nous allons définir ce que c'est une relation d'ordre sur un ensemble quelconque.
Soit $E$ un ensemble.
Maintenant, on la propriété suivante concernant l'ensemble $\mathbb{R}$.
- Une relation $\mathscr{R}$ sur $E$ est un sous-ensemble de l'ensemble produit $E \times E$. Pour $(x, y) \in E \times E$, on dit que $x$ est en relation avec $y$ et on note $x \mathscr{R} y$ pour dire que $(x, y) \in \mathscr{R}$.
- Une relation $\mathscr{R}$ est une relation d'ordre si
- $\mathscr{R}$ est réflexive : $\forall x \in E,\ x \mathscr{R} x$,
- $\mathscr{R}$ est antisymétrique : $\forall (x, y) \in E^2,(x \mathscr{R} y$ et $y \mathscr{R} x) \Longrightarrow x=y$,
- $\mathscr{R}$ est transitive : $\forall(x, y, z) \in E^3,(x \mathscr{R} y$ et $y \mathscr{R} z) \Longrightarrow x \mathscr{R} z$.
- Une relation d'ordre $\mathscr{R}$ sur un ensemble $E$ est totale si pour tout $x, y \in E$ on a $x \mathscr{R} y$ ou $y \mathscr{R} x$. On dit aussi que $(E, \mathscr{R})$ est un ensemble totalement ordonné.
$(\mathbb{R}, \leq)$ est un ensemble totalement ordonné.
Propriété d'Archimède
L'ensemble $\mathbb{R}$ est archimédien, i.e. étant donné deux réels $x$ et $y$ strictement positifs, il existe un entier $n\in \mathbb{N}^*$ tel que
$$
y\leq nx.
$$
On montre cette proposition par l'absurde. Supposons que, pour tout entier $n$ on ait $y>n x$; soit l'ensemble $E=\left\{n x, n \in \mathbb{N}^*\right\} ; E$ est non vide et majoré, il admet une borne supérieure $\alpha>0$ (voir la section Borne supérieure). On a donc, pour tout entier $n, n y \leq \alpha$ et il existe $p$ tel que: $\frac{\alpha}{2}\lt p y \leq \alpha$ d'où $2 p y>\alpha$, or $2 p y$ appartient à $E$, on a donc une contradiction.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes
L'entier $n$ dans l'assertion $(c)$ de l'exercice précédent s'appelle partie entière de $y$ et on le note $E(y)$ et on a
$$
E(y) \leq y \leq E(y) + 1.
$$
Le nombre décimal $y_k$ dans l'exercice précédent est l'approximation décimale d'ordre $k$ ou à $10^{-k}$ près par défaut de $y$ .
- (a) $\mathbb{R}$ est archimédien,
- (b) Pour tout réel $y$ strictement positif, il existe un entier $n\in \mathbb{N}^*$ tel que $y\leq n$,
- (c) Pour tout réel $y$ strictement positif, il existe un unique entier $n\in \mathbb{N}^*$ tel que $n\leq y\lt n+1$.
- (d) Pour tout réel $y$ strictement positif et tout $k\in \mathbb{N}$, il existe un unique décimal $y_k$ tel que $$ 10^k y_k \in \mathbb{N} \text{ et } y_k\leq y\lt y_k+10^{-k}.$$
Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$
Rappelons tout d'abord la notion d'intervalle vue au lycée.- Une partie $I$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si \begin{align} \forall a, b \in I &,a \leq b, \forall x \in \mathbb R :\\ &(a\leq x \leq b \Rightarrow x\in I) \end{align}
- Un intervalle ouvert est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ de la forme $]a, b[= \{x \in \mathbb{R}: a \lt x \lt b\}$ , où $a$ et $b$ sont des éléments de $\mathbb{R}\cup \{-\infty, +\infty\}$.
$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, i.e. pour tout $x, y \in \mathbb{R}$ tels que $x\lt y$, il existe $r\in \mathbb{Q}$ tel que
$$
x \lt r\lt y.
$$
Soit $x, y \in \mathbb{R}$ tel que $x\lt y$. Nous allons d'abord démontrer le théorème dans le cas $x\geq 0$. Puisque $y-x>0$, $\frac{1}{y-x} \in \mathbb{R}$.
Alors, par la propriété d'Archimède, il existe un $n \in \mathbb{N}$ tel que $\frac{1}{y-x} \lt n $.
Par conséquent, $1+ nx\lt ny$. Puisque nous sommes dans le cas $x>0$, on a $nx >0$ et donc il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $m-1 \leq nx \lt m$.
Ensuite, $ nx \lt m \leq 1+nx \lt ny$ . Ainsi $n x\lt m\lt n y$. Il s'ensuit alors que le nombre rationnel $r=\frac{m}{n}$ satisfait $x\lt r\lt y$.
Or, dans le cas $x \leq 0$, il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $k>|x|$. Puisque $k-|x|=k+x$ est positif et $k+x\lt k+y$, l'argument ci-dessus prouve qu'il existe un nombre rationnel $r$ tel que $k+x\lt r\lt k+y $. Ensuite, en laissant $r^{\prime}=r-k, r^{\prime}$ est un nombre rationnel tel que $x\lt r^{\prime}\lt y$.
Montrer que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ si et seulement si pour tout $x\in \mathbb{R}$ et pour tout $\varepsilon >0$, il existe $r\in \mathbb{Q}$ tel que
$$
|x-r|\lt \varepsilon.
$$
À partir de l'exercice précédent, on constate que la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ peut s'exprimer d'une autre manière: dire que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ c'est dire que tout réel $x\in \mathbb{R}$ peut être approché aussi près qu'on veut par des nombres rationnels.
Borne supérieure - Borne inférieure
Majorant et minorant d'un ensemble
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$ et $x$ un élément de $\mathbb{R}$.
- On dit que $m$ est un majorant de $A$ (resp. un minorant) dans $\mathbb{R}$ si \begin{align*} &\forall a \in A,\ a \leq m \cr \text { (resp. } &\forall a \in A,\ m \leq a) . \end{align*}
- On dit que $A$ est majorée (resp. minorée) dans $\mathbb{R}$ si $A$ admet au moins un majorant (resp. au moins un minorant) dans $\mathbb{R}$, c'est à dire si \begin{align*} &\exists m \in \mathbb{R}, \forall a \in A,\ a \leq m \cr \text { (resp., } &\exists m \in \mathbb{R}, \forall a \in A,\ m \leq A \text { ). } \end{align*}
- On dit que $A$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
- On dit que $x$ est le plus grand élément (resp. le plus petit élément) de $A$ si $x$ est un majorant (resp. minorant) de $A$ et si $x \in A$. On écrit dans ce cas $x = \max(A)$ (resp. $x = \min(A)$).
- $2$ est un majorant de $]0, 2[$ et est le plus grand élément de $]0, 2]$. Est-ce que $\min(]0, 2])$ existe? Justifier!
- L'ensemble $A = \{sin(x) : x\in \mathbb{R}\}$ est majoré par $1$ et minoré par $-1$. Donc $A$ est borné.
Soit $A = \{ 1- \frac{1}{n} | n\in \mathbb{N}^* \}$. Montrer que $A$ n'admet pas un grand élément. (Utiliser un raisonnement par l'absurde)
Borne supérieure, borne inférieure
Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ et $\alpha$ un réel.
- $\alpha$ est la $\textbf{borne supérieure}$ de $A$ si $\alpha$ est un majorant de $A$ et si c'est le plus petit des majorants. S'il existe on le note $\sup A$.
- $\alpha$ est la $\textbf{borne inférieure}$ de $A$ si $\alpha$ est un minorant de $A$ et si c'est le plus grand des minorants. S'il existe on le note $\inf A$.
- Toute partie admettant un plus grand élément (resp. un plus petit élément), alors c'est sa borne supérieure (resp. borne inférieure).
- Soit $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a\lt b$. Alors \begin{align} \sup [a,b] &= \sup ]a,b] \\ = \sup [a,b[ &= \sup ]a,b[ = b \end{align} et \begin{align} \inf [a,b] &= \inf ]a,b] \\ = \inf [a,b[ &= \inf ]a,b[ = a \end{align}
- Toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure.
- Toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et minorée admet une borne inférieure.
Pour montrer l'existence de la borne sup ou inf d'une partie, on doit tout d'abord s'assurer que cette partie est non vide!!
Caractérisation de la borne supérieure et la borne inférieure
Les deux propositions suivantes donnent deux différentes, mais équivalentes, caractérisations des bornes supérieure et inférieure.
Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. Alors, on a
$$
\begin{align}
M &= \sup A \\
&\Longleftrightarrow \begin{cases}
(i) \text{ si } x\in A, \text{ alors } x\leq M,\cr
(ii) \forall y \lt M, \exists x\in A , y \lt x
\end{cases}
\end{align}
$$
et
$$
\begin{align}
m &= \inf A \\
&\Longleftrightarrow \begin{cases}
(i) \text{ si } x\in A, \text{ alors } x\geq m,\cr
(ii) \forall y > m, \exists x\in A ,\ y > x
\end{cases}
\end{align}
$$
Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. Alors, on a
$$
\begin{align}
&M = \sup A \\
&\Leftrightarrow \begin{cases}
\forall x\in A, \ x\leq M \cr
\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in A,\ M-\varepsilon \lt x
\end{cases}.
\end{align}
$$
et
\begin{align}
&m = \inf A \\
&\Leftrightarrow \begin{cases}
\forall x\in A,\ x\geq m \cr
\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in A,\ x \lt m+\varepsilon.
\end{cases}
\end{align}
Topologie de $\mathbb{R}$
Les ouverts de $\mathbb{R}$
La notion de "$\textit{ voisinage }$" est fondamentale lorsqu'on aborde la topologie de $\mathbb{R}$ (ou bien la la topologie en général ). Dans ce qui suit, on va définir ce que c'est un voisinage d'un réel.
Soit $a\in \mathbb{R}$. On dit qu'une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est un voisinage de a s'$\underline{\text{il existe }r>0 \text{tel que} ]a-r, a+r[ \subset A}$.
- Pour tout $a\in \mathbb{R}$, $\mathbb{R}$ est un voisinage de $a$, car on peut toujours trouver un $r>0$ tel que $]a-r, a+r[ \subset \mathbb{R}$.
- Pour tout $a\in \mathbb{R}$, le singleton $\{a\}$ $\textbf{ n'est pas}$ un voisinage de $a$.
- L'intervalle $]0,2[$ est un voisinage de tous ses points, i.e. pour tout $a\in ]0,2[$, $]0,2[$ est un voisinage de $a$.
Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est un ouvert si
pour tout $a \in A$, $A$ est un voisinage de $a$.
Autrement dit, $A$ est un ouvert si
$$
\forall a \in A,\ \exists r>0,\ ]a-r, a+r[ \subset A
$$
Soit $a, b, c \in \mathbb{R}$ tels que $a\lt b\lt c$. Est-ce que les intervalles suivants sont des ouverts? Justifier
$\begin{align}
&[a,b],\ ]a, b],\ ]a, b[,\ ]a, b[\cup ]b, c[,\\
&\ ]-\infty, a[,\ [a, +\infty[, \ \mathbb{R}.
\end{align}
Dans la définition suivante, on va définir la notion d'intérieur d'un ensemble.
Soit $A$ une partie quelconque de $\mathbb{R}$. On appelle intérieur de $A$, et on note $\mathring{A}$, le plus grand ouvert contenu dans $A$
- Une première conséquence de la définition précédente est que $\textbf{$\mathring{A}$ est un ouvert}$ et que $$ \mathring{A} \subset A $$
- Il est facile de montrer que $$ \mathring{A} = \bigcup_{\begin{matrix} O \subset A\\ O \text{ ouvert} \end{matrix}} O. $$
- L'intérieur de $A$ est l'ensemble des point $a\in A$ tels que $A$ soit voisinage de $a$.
- Si $A$ est un ouvert, alors $\mathring{A} = A$.
- Soit $a \lt b$ deux réels. Alors \begin{align} \mathring{[a, b]} &= \mathring{]a, b]} \\ = \mathring{[a, b[} &= \mathring{]a, b[} = ]a, b[. \end{align}
- Pour tout $a\in \mathbb{R}$, $\mathring{\{a\}}$ = $\emptyset$.
- $\mathring{\mathbb{R}} = \mathbb{R}$.
- Montrer que si $(O_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est une famille d'ouverts alors, $\bigcup_{n\in \mathbb{N}} O_n$ est un ouvert.
- Soient $O_1, \cdots , O_n$ un nombre fini d'ouverts. Montrer que $\bigcap_{i=1}^{n} O_i $ est un ouvert.
Les fermés de $\mathbb{R}$
Soit $A$ un ensemble de $\mathbb{R}$. On désigne par $A^c$ le complémentaire de $A$ dans $\mathbb{R}$, i.e. l'ensemble des réels qui n'appartiennent pas à $A$. Autrement dit, $A^c = \mathbb{R}\setminus A$.
Une partie $A$ de $\mathbb{R}$ est dite fermée si son complémentaire $A^c$ est un ouvert de $\mathbb{R}$.
- Tout segment $[a, b]$, avec $a \leq b \in \mathbb{R}$ est fermé, car $[a, b]^c=]$ $\infty, a[\cup] b,+\infty[$ est une réunion d'intervalles ouverts, donc est une partie ouverte de $\mathbb{R}$.
- De même, les intervalles de la forme $]-\infty, b]$ et $[a,+\infty[$ sont fermés.
- Soit $\left(F_i\right)_{i \in I}$ une famille de fermés de $\mathbb{R}$, indexée par un ensemble quelconque I. Alors $\bigcap_{i \in I} F_i$ est un fermé de $\mathbb{R}$.
- Soient $F_1, \ldots, F_n$ des fermés (en nombre fini), alors $F_1 \cup \cdots \cup F_n$ est un fermé de $\mathbb{R}$.
Utilisé la définition et le fait que $(A\cup B)^c = A^c\cap B^c \quad \cdots $
Soit $A \subset \mathbb{R}$ une partie quelconque. On appelle adhérence de $A$, et on note $\bar{A}$, le plus petit fermé de $\mathbb{R}$ contenant $A$.
- Il est clair, d'aprés la définition, que $$ A\subset\bar{A} $$
- Si la partie $A$ est fermée alors $\bar{A}=A$.
Pour tout réels $a$ et $b$ tels que $a\lt b$, on a
\begin{align}
&\overline{] a,b[}=\overline{[a,b[}=\overline{[a,b]}=[a,b],\\
&\overline{\{a\}}=\{a\}, \ \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}.
\end{align}
